Himpunan

1.KONSEP HIMPUNAN

a). Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berlainan dan terdefinisi dengan jelas (weel defined).

b).Objek-objek dalam himpunan disebut anggota atau elemen yang disimbolkan dengan dan untuk bukan elemen..

b).Banyaknya anggota himpunan disebut dengan kardinal himpunan yang disimbolkan        dengan n(A) untuk missal A suatu himpunan

            2. PENYAJIAN HIMPUNAN

Terdapat banyak cara untuk menyajikan himpunan. Di sini kita mengemukakan 4 cara penyajian, yaitu mengenumerasi elemen-elemennya, menggunakan simbol-simbol baku, menyatakan syarat keanggotaan, dan menggunakan diagram Venn.

1.Enumerasi

 Mengenumerasi artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antaradua buah tanda kurung kurawal. Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan menggunakanhuruf  kapital maupun dengan menggunakan simbol-simbol lainnya.

Contoh:

1.Himpunan A yang berisi empat buah bilangan asli pertama dapat ditulis sebagai .

A = {1, 2, 3, 4}.

2. Himpunan B yang berisi lima buah bilangan genap positif pertama adalah

B = {4, 6, 8, 10}.

 2. Simbol - Simbol Baku

Terdapat sejumlah simbol baku yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan,antara lain:

P = himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3,…}

N = himpunan bilangan alami (natural) = {1,2,…}

Z = himpunan bilangan bulat = {…,-2,-1,0,1,2,…}

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Kadang-kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan yang semuanya merupakan bagian dari sebuah  himpunan yang universal. Himpunan yang universal ini disebut semesta dan disimbolkan dengan U

3. Notasi Pembentuk Himpunan

 Cara lain menyajikan himpunan adalah dengan notasi pembentuk himpunan (set builder). Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.

      Notasi:{x|syarat yang harus dipenuhi oleh x}

Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan:

a.)    Bagian di kiri tanda ’|’ melambangkan elemen himpunan

b.)    tanda ’|’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga

c.)    bagian di kanan tanda ’|’ menunjukan syarat kenggotaan himpunan.

Contoh:

                     (i)    A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5,dinyatakan sebagai

                    A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}

                  (ii).  B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8,                                                                      

                          dinyatakan sebagai   

                    B = {x|x adalah himpunan bilangan genap positif lebih kecil atau sama dari 8}

(iii) Notasi pembentuk himpunan sangat berguna untuk menyajikan himpunan yang             anggota-anggotanya tidak mungkin dienumerasikan. Misalnya Q adalah   himpunan

             bilangan rasional, dinyatakan sebagai:

3. JENIS JENIS HIMPUNAN

Definisi  Himpunan Semesta Suatu himpunan S disebut himpunan semesta jika dan hanya jika keseluruhan dari elemennya  menjadi topik pembahasan suatu himpunan tertentu.

Contoh:

1)       Misalkan B = himpunan mahasiswa jurusan IPA Biologi IAIN Mataram, maka himpunan semesta dari B adalah  S = himpunan mahasiswa fakultas tarbiyah IAIN Mataram atau S = himpunan mahasiswa IAIN Mataram.

Definisi  Himpunan Kosong Suatu himpunan disebut himpunan kosong jika dan hanya jika himpunan tersebut tidak memiliki anggota dan disimbolkan dengan Ф atau { }

Contoh:

1)      Misalkan didefinisikan himpunan sebagai berikut:

            A = Himpunan dosen non muslim IAIN Mataram

Dalam hal ini, dengan jelas dapat ditentukan bahwa himpunan A tidak memiliki       anggota, karena syarat untuk menjadi dosen IAIN Mataram harus muslim.

Definisi  Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga Suatu himpunan disebut berhingga jika dan hanya jika banyaknya anggota himpunan tersebut dapat dinyatakan dalam bilangan bulat tak negatif dan sebaliknya disebut himpunan tak berhingga

 Sebutan lain dari himpunan berhingga adalah finit set dan tak berhingga unfinit sets.

Contoh:

1)      Misalkan dimiliki himpunan sebagai berikut:

            A = Himpunan mahasiswa IAIN yang masih BALITA

             B = {1, 3, 5, 7}

C = {0, 2, 4, 6,  . . , 20}

D = {x/x nama  hari dalam seminggu}

E = {0, 1, 2, 3, …}

F = {. . ., -2,-1,0,1,2,. . . }

G = {x/0<x<1}

Dari himpunan tersebut di atas, himpunan A, B, C dan D adalah himpunan berhingga karena n(A) = 0, n(B)=4, n(C) = 11 dan n(D) = 7. Sedangkan himpunan E, F dan G adalah himpunan tak berhingga, karena n(E), n(F) dan n(G) tidak diketahui.

Definisi himpunan terbilang dan tak terbilang disebut suatu himpunan terbilang jika dan hanya jika setiap anggotanya dapat disebutkan satu persatu, dan sebaliknya disebut tak terbilang.

Istilah lain dari himpunan terbilang adalah Caountable atau Denumerable dan untuk yang tak terbilang disebut Un Countable atau Non Denumerable.

Contoh:

1)      Misalkan dimiliki himpunan sebagai berikut:

           A = {a,b,c,d}; B = {1,2,3,. . .} dan C = {x/0 < x < 1}                                                     

Himpunan A dan B disebut himpunan terbilang, karena setiap anggotanya InsyaAllah dapat disebutkan satu per satu meskipun B juga termasuk himpunan tak berhingga. Sedangkan C adalah himpunan tak terbilang, karena kita tidak dapat menyebutkan satupersatu anggotanya. Karena kita tidak dapat menyebutkan bilangan real setelah nol atau bilangan real sebelum 1. Dalam hal ini C juga disebut himpunan tak berhingga dan tak terbilang.

Definisi  Himpunan terbatas dan Tak Terbatas Suatu himpunan disebut terbatas, jika dan hanya jika himpunan tersebut memiliki batas atas dan batas bawah

Sebutan lain dari himpunan terbatas adalah Bounded Set dan Tak terbatas Un bounded Set.

Contoh:

1)    K ={1,2,3,4}, mempunyai batas bawah 1 dan batas atas 4. Jadi L merupakan himpunan terbatas.

2)  L = {x/x < 4}, hanya mempunyai batas atas, yakni 4. Jadi L merupakan himpunan tak terbatas.

Pengertian  Himpunan Kuasa Suatu koleksi himpunan yang anggotanya semua himpunan bagian dari suatu himpunan tertentu disebut sebagai himpunan kuasa dari himpunan tersebut.

Contoh:

1.      Misalkan dimiliki himpunan A = {1, 2, 3}, maka himpunan bagian A adalah {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}. Himpunan kuasa dari A adalah  P(A) = {Ф, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.

Teorema Jika A adalah himpunan dengan kardinal n, maka kardinal dari himpunan kuasa A adalah 2n

Contoh:

1.      Dari Teladan 1.9  di atas, diketahui bahwa kardinal dari A adalah 3, maka kardinal dari himpunan kuasa A adalah 2³ = 8.

4. RELASI ANTARA HIMPUNAN

Relasi antara dua buah himpunan adalah pernyataan yang mendefinisikan hubungan antara suatu himpunan dengan himpunan lainnya.

Definisi  Relasi Bagian (Sub Set) Suatu himpunan A disebut bagian dari himpunan B jika dan hanya jika untuk setiap anggota A menjadi  anggota dari B. Model simboliknya: 3. Lebih lanjut A disebut Himpunan Bagian dari B dan B disebut Super Himpunan A

Contoh:

1.      Misalkan A = himpunan mahasiswa kualifikasi IPA Biologi IAIN Mataram dan B = himpunan mahasiswa IAIN Fakultas Tarbiyah IAIN Mataram. dalam hal ini Himpunan A disebut sebagai himpunan bagian dari B, karena semua mahasiswa kualifikasi IPA Biologi IAIN Mataram adalah mahasiswa Fakultas Tarbiyah IAIN Mataram. Secara simbolik ditulis sebagai Karena

2.      Misalkan dimiliki himpunan

C = { 1, 2, 3, a, b, c, d} dan D = { 1, b, 3, d}, maka D adalah himpuan bagian dari C, karena semua anggota D adalah anggota C.

Definisi  Relasi Kesamaan Himpunan A disebut sama dengan  B jika dan hanya jika A adalah Sub Set dari B dan B adalah Sub Set dari A. Model simboliknya:

CONTOH:

1.      Misalkan dimiliki himpunan A = { 1, 2, 3,4} dan B = { 4, 3, 2, 1}

Dapat diketahui dengan mudah bahwa, setiap anggota A adalah anggotaB() dan  setiap anggota B adalah anggota dari A.

.

Definisi  Relasi Berpotongan atau beririsan Dua buah himpunan disebut memiliki relasi berpotongan jika dan hanya jika irisannya bukan himpunan kosong. Dalam notasi matematika ditulis sebagai

Himpunan yang yang memenuhi definisi tersebut disebut sebagai himpunan beririsan atau berpotongan.

Contoh:

1.      Misalkan dimiliki himpunan A = { 1,2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7} maka A dan B disebut himpunan yang saling beririsan karena

Definisi  Relasi Lepas Dua buah himpunan disebut memiliki relasi lepas jika dan hanya jika irisannya merupakan himpunan kosonga. Ditulis dalam notasi matematika sebagai .

Selanjutnya himpunan yang memenuhi definisi relasi lepas, disebut sebagai himpunan saling lepas.

Contoh:

      1.   Misalkan dimiliki himpunan A = { 1,2, 3, 4} dan B = {5, 7, 11,17} maka A dan B disebut himpunan yang saling lepas karena

5.OPERASI-OPERASI PADA HIMPUNAN

1. Irisan ( ∩ )

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yg setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi: A ∩ B={x | x ∈ A dan x ∈ B}

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A ∩ B={2,3,5}

2.Gabungan  ( ∪ )

Gabungan(union) dari himpunan A dan B adalah  himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka, A ∪ B={1,2,3,4,5,7,11}

3. Komplemen

            Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.

Notasi : Ā = { x | x ∈ U, tapi x ∉ A }

Misalkan U={0,… 11} dan A={1,3,5,7} maka, Ā = {0,2,4,6,8,9,10,11}

4.Selisih

 Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A.

Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B’

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A – B = {1,4}

5. Beda Setangkup

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah sesuatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

CONTOH:

Notasi: A⊕B = (A∪B) – (A∩B) = (A-B) ∪ (B-A)

Misalkan A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 } maka ,  A⊕B = { 3, 4, 5, 6 }

6. Perkalian Kartesain

Perkalian kartesian (Cartesian products) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen kedua dari himpunan A dan B.

Notasi: A x B ={(a,b)| a ∈ A dan b ∈ B}

Contoh:

1.      Misalkan C = { 1, 2, 3 },  dan D = { a, b }, maka  C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

 Catatan:

1. jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: |A x B| = |A| . |B|

2. Pasangan berurutan (a,b) berbeda dengan (b,a).

3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B ≠ B x A dengan syarat A dan B tidak kosong.

6. SIFAT-SIFAT PADA OPERASI HIMPUNAN

     Hukum dalam pengertian ilimiah adalah teorema yang kebenaranya sudah terbukti. Terdapat banyak hukum dalam teori himpunan, akan tetapi dalam pengantar dasar matematika, akan dibahas 12 hukum. Misalkan A, B dan C sembarang himpunan, maka berlaku relasi berikut:

1.      Hukum Identitas i)        ii)	2.      Hukum Dominasi i)        ii)
3.      Hukum Komplemen I i). ii)	4.      Hukum Komplemen II       i). ii).
5.      Hukum Idempoten i)     ii).	6. Hukum Involusi i).
7. Hukum De Morgan i). ii).	8. Hukum Penyerapan/absorpsi i). ii).
9. Hukum Komutatif/Pertukaran i). ii).	10. Hukum Asosiatif/Penglompokan i). ii).
11. Hukum Distributif i). ii).
12. Hukum Dualitas; yakni penukaran operasi  degan  dan himpunan S dengan . Misal

7. DIAGRAM VENN

Pendefinisian himpunan dengan diagram venn dibentuk dengan cara menempatkan himpunan Semesta S pada sebuah persegi panjang dan  untuk himpunan lainnya dengan kurva tertutup sederhana dan anggotanya dengan noktah (titik).

Contoh:

1.      Misalkan dimiliki himpunan A = { a, i, u, e, o, 1, 2} dan B = {1, 2, 3, 4, a, o} maka pendefinisian dalam diagram venn sebagai berikut

Gambar 1

Diagram venn di atas berarti bahwa, telah didefinisikan himpuan A = {1, 2, a, i, u, e, o} dan B = {1, 2, 3, 4, a, o} dan himpunan {1, 2, a, o}.